两个多边形定理的证明 - Cache One

定理 1

在所有定边长 N N N 边形中,圆内接凸 N N N 边形面积最大。
*定边长指的是这些 N N N 边形边集相等。

定理 1 证明

最优性证明

首先凹多边形可以略去考虑,因为一定找到比其优的凸多边形。

然后若多边形的各点不全共圆,一定能按如下方法找到面积更大的多边形,方法如下:
设多边形上的点组成的点集为 { G 1 、 G 2 . . . G N } \{G_1、G_2 ... G_N\} {G1G2...GN}(按顺时针编号),我们确定编号 ≥ 3 \ge 3 3 的点的位置,然后按顺序执行以下步骤:

  1. G 1 , G 2 , G 3 , G 4 {G_1,G_2,G_3,G_4} G1G2G3G4 四点共圆,跳至第3步。
  2. 我们调整 G 1 、 G 2 G_1、G_2 G1G2 的位置,使得 G 1 ′ 、 G 2 ′ 、 G 3 、 G 4 G_1'、G_2'、G_3、G_4 G1G2G3G4 四点共圆,由扩展婆罗摩笈多公式1 知道 S G 1 ′ G 2 ′ G 3 G 4 > S G 1 G 2 G 3 G 4 S_{G_1'G_2'G_3G_4} > S_{G_1G_2G_3G_4} SG1G2G3G4>SG1G2G3G4,所以总面积一定变大。
  3. 如果所有点(这里指的是 N N N 边形上的所有点)都共圆,结束;否则,从 G 2 G_2 G2 开始重新顺时针编号(即 G 2 G_2 G2 重编号为 G 1 G_1 G1 G 3 G_3 G3 重编号为 G 2 G_2 G2 …),然后跳转到第1步。

由于该多边形各点不都共圆,所以按以上操作至少进行了一次2操作,即操作后的各点都共圆的多边形面积一定大于原多边形。

于是我们证明了在各边长确定的情况下,圆内接多边形的面积一定大于非圆内接多边形的面积,即证明了其最优性。接下来我们证明其存在性

存在性证明

对于这些给定的 N N N 条边,一定能找到一个半径足够大的圆能将这些边顺次排在上面,注意第 1 1 1 条边不一定与 第 N N N 条边相接。
如果相接,则这 N N N 条边呈闭合态,即构造出了给定边长的圆内接 N N N 边形。
如果不相接,考虑缩小圆的半径,这样第 1 1 1 条边与 第 N N N 条边的距离就会靠近,并且我们知道这个过程是连续平稳的,所以不断缩小的过程中必然会存在一个半径,使得两条边相接。
所以定边长的圆内接多边形是存在的。

其它

注意原命题的形式,要求保证给定的 N N N 条边能合法地构成 N N N 边形。

定理 2

在所有定半径的圆内接 N N N 边形中,正 N N N 边形面积最大。
*定半径指的是这些 N N N 边形的外接圆半径相等。

定理 2 证明

设面积为 S S S,则
S = ∑ i = 1 N R 2 s i n θ i 2 S=\frac{\sum_{i=1}^{N}R^2sin \theta_i}{2} S=2i=1NR2sinθi 其中 θ i \theta_i θi 为圆内接 N N N 边型的第 i i i 条边所对的圆心角。

设正弦函数 f ( θ ) = s i n θ f(\theta)=sin \theta f(θ)=sinθ容易知道其在 [ 0 , π ) [0,\pi) [0,π) 上为上凸函数2。(不考虑多边形仅分布在圆的一侧的情况,因为一定不优,因此只需考虑此域值)
S = R 2 2 ∑ i = 1 N f ( θ i ) S=\frac{R^2}{2}\sum_{i=1}^Nf(\theta_i) S=2R2i=1Nf(θi)
J e n s e n Jensen Jensen 不等式3
∑ i = 1 N f ( θ i ) N ≤ ∑ i = 1 N f ( ∑ i = 1 N θ i N ) = ∑ i = 1 N f ( 2 π N ) \frac{\sum_{i=1}^Nf(\theta_i)}{N} \le \sum_{i=1}^Nf(\frac{\sum_{i=1}^N\theta_i}{N})=\sum_{i=1}^Nf(\frac{2 \pi}{N}) Ni=1Nf(θi)i=1Nf(Ni=1Nθi)=i=1Nf(N2π)
S 一 般 多 边 形 ≤ R 2 2 N ∑ i = 1 N f ( 2 π N ) = S 正 多 边 形 S_{一般多边形} \le \frac{R^2}{2}N\sum_{i=1}^Nf(\frac{2 \pi}{N})=S_{正多边形} S2R2Ni=1Nf(N2π)=S
证毕。


  1. 扩展婆罗摩笈多公式:https://baike.baidu.com/item/婆罗摩笈多公式/8780031 ↩︎

  2. 上凸函数:https://wenku.baidu.com/view/e9e94918cfc789eb162dc819.html ↩︎

  3. Jensen 不等式:https://baike.baidu.com/item/琴生不等式/397409?fr=aladdin ↩︎

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