程序员的线性代数读书笔记——第一章 - Cache One

目录

对角矩阵

特征值、特征向量与对角化

秩与可逆性

向量 矩阵 行列式

内积


对角矩阵

  • mxn矩阵表示从n纬空间到m纬空间的映射
  • 行列式在mxm矩阵中表示面积扩大率
  • 对角矩阵的行列式=对角元素的乘积
  • 对角矩阵只会在水平和竖直方向上伸缩
  • 行列式为0代表压缩扁平化 detA=0
  • 非对角矩阵的空间变化一般情况下会发生倾斜,但是并非扭曲,还是线性变换

特征值、特征向量与对角化

  • 特征向量就是空间变化前后保持方向不变,只有长短变化的向量,伸缩率等于该特征向量的特征值
  • 矩阵作用于以自身对角向量方向为坐标轴方向的空间时候,效果和对角矩阵一样,只会沿着坐标轴伸缩

秩与可逆性

  • 像 是指空间中点的变化,像的维数是指变化后空间的维数,线的维数为1,平面的维数为2
  • 压缩扁平化是指像的维数比原先低了
  • 发生压缩扁平化的矩阵是奇异矩阵
  • 没有发生压缩扁平化的矩阵是非奇异矩阵
  • 发生了压缩扁平化所以detA=0
  • 奇异值矩阵必定有一个特征值为0,例如原来不在压缩后向量空间的特征向量,就会到原点变成0向量,其他的在压缩后的向量空间的向量特征值不为0,特征值为0的特征向量所在的直线称为变化矩阵A的核
  • 与A的核平行的向量空间若发生压缩扁平化会被压缩到同一低维的向量空间所以无法还原,因此逆矩阵不存在
  • 如果矩阵某两列列交换,行列式的大小是交换前行列式的相反数,且较空间上下反转

向量 矩阵 行列式



这样一个只附加了加法和标量运算的世界,我们称之线性空间,或者向量空间。

内积

内积可以表达模长,模长又可以由勾股定理引出正交

而给定了内积定义的线性空间称为内积空间,有时候也成为度量线性空间或者度量向量空间
内积空间有了内积的概念,从而有了正交的概念,而这时候基底的选取就很重要了,需要选择正交基才可以使得内积表达为漂亮的分量乘积之和的形式
实际上 非正交基底可以通过gram_schmidt正交化变成标准正交基,不过一般不加解释都是标准正交基
基底的条件是空间中任何向量都可以用基底分量和形式唯一表示

注释二的意思是只有当全部系数都为0的时候才会为零向量,那么基底线性无关,因为如果线性相关某两个向量可以成比例互相抵消
维数=基向量的个数=坐标的分量数
并且可以证明(那个证明是附录c,表示没看大明白)基向量个数一定固定不变
矩阵是一种线性映射,写在向量左边如同f(x)的形式,表示原来向量空间中的x通过A的线性变化之后变化后空间内的向量表示,矩阵的列数为输入向量的维数,行数为变化后空间的维数。可以简单将右边的列向量看做nx1的矩阵。
矩阵乘积=映射合成
矩阵的乘方=映射的迭代

一定要讲矩阵看做函数 而函数先后顺序是很有关系的
对角矩阵是对各个坐标轴的伸缩,若有一列全零那么会发生扁平化映射,无法找到逆映射。对角矩阵的乘法就是对应位置相乘,很方便。所以一般矩阵变对角矩阵可以使得运算化简。
逆矩阵=逆运算
把向量空间扁平化的映射没有逆矩阵,即不能还原原来空间分布

第二个性质这样记,当先b后a变化之后要还原,那么只能先对变化后的世界a逆一下,然后再b逆。

两个同维数向量相乘的时候要注意,如果是列向量乘以行向量得到的是维数相同的方阵,而行向量乘列向量是数

坐标变化可以用乘以方阵A的形式来表示,这里的A存在逆矩阵,并且每一列代表原来该列的基底最后到哪里(这个哪里是用原坐标的语言(基底)来表示的,v=Av'的意思就是将v'世界的语音经过转换变成原来坐标系下的表达)反变换就是A逆
所有存在逆矩阵的方阵都可以用坐标变换来解释

转置
对角矩阵的转置还是原矩阵

转置矩阵的本质是对于线性映射A使得

成立的AT
虽然感觉这样不是很能明白其物理意义,但是通过这个式子可以明白,如果说A作用于y然后结果与x向量相乘可以转化为A的转置作用于x然后和y向量相乘,如果已经证明ab转置为b转置乘a转置,那么就像之前说的列向量要在右边,如果是行向量则在左边右乘A的转置(?是不是对的?)
当然如果设计复数矩阵那么转置就应该变成共轭转置,先每个数取共轭然后转置
行列式只有方阵有,绝对值表示体积扩大率,为0时发生扁平化压缩,为负时候存在翻转